良いモデルが持つべき７つの性質

http://scholar.harvard.edu/files/laibson/files/seven_properties_2008.pdf

absolute / relative risk aversion

準備

u: 効用関数

π: リスクプレミアム（期待値ゼロのくじに対して、その期待値を確実に貰えるなら払っても良いと考える保険料）

ε〜（0,σ^2）

リスクプレミアムの定義から

u(x - π) = E[u(x + ε)]

が成り立つ。

左辺をπについてゼロ周りで１次テイラー展開、右辺をεについてゼロ周りで２次テイラー展開すると、

u(x) - u'(x)π = E[ u(x) + u'(x)ε+ u''(x) ε^2 ]

この式より、

π = - (1/2)(u''(x)/u'(x))σ^2 　…（＊）

絶対的危険回避度(absolute risk aversion)

- u''(x)/u'(x)

絶対的危険回避度が一定の時(CARA)、消費者は所得水準(ここでは消費水準x)に関わらず、そのくじの分散に比例した保険料を設定する。

相対的危険回避度(relative risk aversion)

- x u''(x)/u'(x)

相対的危険回避度が一定の時(CRRA)、消費者は所得水準で標準化した分散に比例した保険料を設定する（同じくじなら所得水準が高い人ほど低い保険料を設定する）。これは、（＊）が、

π = - (1/2)(x u''(x)/u'(x))(σ^2/x)

と変形できることからわかる。

http://www.econ.hit-u.ac.jp/~makoto/PDF/Appendix3JIS.pdf

予備的貯蓄動機と効用関数

将来の消費の不確実性に起因する予備的貯蓄動機が存在するのは、効用関数の３階微分がプラスの場合。

将来の消費量について単純に平均が変化せず不確実性（分散）のみが拡大する場合を考える（不確実性なしから不確実性を付け加えても良い）。

効用関数の３階微分がプラスの場合、

（１）消費量が高い水準から追加的に消費が増加したときの限界効用の低下幅

と比べて、

（２）消費量が低い水準から追加的に消費が減少したときの限界効用の増加幅

 が大きいため、オイラー方程式

u'(c(t)) = βE[u'(c(t+1))]

の右辺が、不確実性の拡大によって上昇する。

右辺の上昇に伴い、左辺も上昇する必要がある、つまり、現在の消費量を減少させ、将来の消費量を増やそうとする（貯蓄の増加）。

＊効用関数の３階微分がプラス　→　限界効用関数がstrictly convex

参考
http://www.esri.go.jp/jp/others/kanko_sbubble/analysis_01_03.pdf

Arrow-Debreu Security / Arrow Security

Arrow-Debreu Security (State-Price Security)

Arrow-Debreu security, is a contract that agrees to pay one unit of a numeraire (a currency or a commodity) if a particular state occurs at a particular time in the future and pays zero numeraire in all the other states.

In an Arrow-Debreu model, trading occurs only once at the beginning of time.

→Arrow-Debreu Market

(Wikipedia)
http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow-Debreu_security

Arrow Security

An Arrow Security is an instrument with a fixed payout of one unit in a specified state and no payout in other states.

In contrast to the Arrow-Debreu market structure model, an Arrow market is a market in which the individual agents engage in trading assets at every time period t.

→Sequential Market

(Wikipedia)
http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow_security

Fundamental Theorems of Welfare Economics

The First Theorem

Any competitive equilibrium or Walrasian equilibrium leads to a Pareto efficient allocation of resources.

The Second Theorem

Any (Pareto) efficient allocation can be sustainable by a competitive equilibrium.

(Wikipedia)
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorems_of_welfare_economics


基本定理の前提条件

1. 個人の効用は自分の消費のみに依存し，企業の利潤は用いた生産要素のみに依存．

2. すべての財（＊） に対して，強制力のある所有権が確立．

3. すべての財（＊）に対して，市場が存在．

4. 企業・家計 は競争的に行動しており,  Price-Taker ．

5. 市場への参加にコストはかからない

6. すべての参加者が財と取引環境について情報を共有している.

（＊）時間や不確実性を明示的に導入して考える場合を含む．その場合にはすべてのありうる状態について証券 （Arrow-Debreu証券）が取引される．（Arrow証券でもいいのでは）

別所(2007)
http://web.keio.jp/~bessho/lecture/07/0710intro.pdf

Results of a Bumper Crop

豊作貧乏

http://pweb.cc.sophia.ac.jp/fyamaza/housaku_binbou.pdf

Cournot Duopoly with Tariff

Inverse Demand Function

p(z)=a-bz=a-b(x+y)

Foreign firms

π*=x(p(z)-t)-C*(x)=x(a-b(x+y)-t)-cx

FOC ⇒ Reaction Function of Foreign Firms

x=r*(y,t)=(a-c-t)/(2b)-(1/2)y

Home firms

π=y(p(z)-t)-C(y)=y(a-b(x+y)-t)-cx

FOC ⇒ Reaction Function of Home Firms

y=r(x)=(a-c)/(2b)-(1/2)y

Nash Equilibrium

x=(a-c-2t)/(3b)

y=(a-c+t)/(3b)

t↑⇒ x↓, y↑ (C→D)

Bertrand Duopoly with Imperfect Substitute Goods

Demand Function of Firm 1

q1=a-bp1+dp2

Profit Function of Firm 1

π1=p1(a-bp1+dp2)-c(a-bp1+dp2)

FOC ⇒ Reaction Function of Firm 1

∂π1/∂p1=0 ⇒ p1=r1(p2)=(a+cb)/2b+(d/2b)p2

Demand Function for Firm 2

q2=a-bp2+dp1

Profit Function of Firm2

π2=p2(a-bp2+dp1)-c(a-bp2+dp1)

FOC ⇒ Reaction Function of Firm 2

∂π2/∂p2=0 ⇒ p2=r2(p1)=(a+cb)/2b+(d/2b)p1


Nash Equilibrium

p1*=p2*=(a+cb)/(2b-d)





p1=p, R*=r1, p2=q, R=r2, x=q1, y=q2

If p1 and p2 increase along the reaction function of firm 1, then the production of firm 1 will increase. In addition, if p1 and p2 increase along the reaction function of firm 2, then the production of firm 2 will increase.

Proof
Reaction function of firm1 ⇒ dp1/dp2=d/2b
Demand function of firm1 ⇒ dq1/dp1=-b+d(dp2/dp1)
From these equations we have
dq1/dp1=b>0 (or dq1/dp2=d/2>0)

http://www.econ.kobe-u.ac.jp/~myojo/io/io11.pdf

生産関数の推定

参考資料

http://www.econ.kobe-u.ac.jp/~myojo/advanced_empirical_io/production.pdf

Two Key Conditions for Monopolistic Competition

1) Marginal Revenue (MR) = Marginal Cost (MC)

2) Price (P) = Average Cost (AC)

Elasticity of Substitution for Production Functions

 http://www.econ.ucsb.edu/~tedb/Courses/GraduateTheoryUCSB/elasticity%20of%20substitutionrevised.pdf

CES Function and Inada Condition

通常のCES関数は、稲田条件のどちらか一方を満たさない。CES関数で稲田条件と矛盾しない関数はコブ＝ダグラス関数だけである。

國府田「新古典派生産関数の一次同次性と凹性についてのノート」
https://appsv.main.teikyo-u.ac.jp/tosho/kkoda62.pdf

Types of Goods (Normal/Inferior/Luxury/Necessity/Ordinary/Giffen)

Settings
x(p,w): Walrasian demand function of a good
p: Price of the good
w: Wealth (Income)

Normal Goods
∂x/∂w>0

Inferior Goods
∂x/∂w<0

Luxury Goods
(∂x/∂w)(w/x)>1

Necessity Goods
(∂x/∂w)(w/x)<1

Ordinary Goods
(∂x/∂p)<0

Giffen Goods
(∂x/∂p)>0

http://en.wikipedia.org/wiki/Good_%28economics%29

Partial Derivatives of Homogeneous Functions

if a function is homogeneous of degree k, its derivatives are homogeneous of degree k-1.

http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/HOMF.HTM

Law of Demand

The law of demand is an economic law, which states that consumers buy more of a good when its price decreases and less when its price increases (ceteris paribus).

http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_demand

Compensating Variation/ Equivalent Variation

Compensating Variation

u0=V(p1, w - CV)

Equivalent Variation

u1=V(p0, w + EV)

Marginal Utility of Income

Claim: Lagrange multiplier λ is marginal utility of income.

Proof:
Indirect utility function:

Taking derivatives with respect to w, we have

Since

(First order condition) and

(Engel aggregation), we have


http://mediaislandr.org/pdf/static_optimization.pdf